Carta de Russell a Frege (24/06/1902)

Friday’s Hill
Haslemere
24 de Junho de 1902

Caro Colega,
Estou muito agradecido pela sua carta e pelo envio de seus trabalhos. Estou enviando-lhe novamente as coisas que foram perdidas na carta [anterior]. Eu já tinha corrigido o erro na p. 7 de [seu livro] Conceitografia; mas, como o Sr. disse, ele não tem qualquer consequência danosa [para o livro].

Sou da opinião que, em geral, conceitos podem variar e que a contradição surgirá apenas se o próprio argumento for uma função da função, ou seja, se a função e o argumento não podem variar independentemente. Na função ϕ{ε′ϕ(ε)}, ϕ é a única variável e o argumento é em si (segundo o modo de expressão ordinário) uma função de ϕ. Ao que parece, funções da forma ϕ{F(ϕ)}, onde F é uma constante e ϕ, uma variável, são certamente permitidas para qualquer valor de ϕ, embora isto seja perigoso onde a extensão está em questão. Eu as chamo de formas quadráticas: poderíamos estar quase inclinado a introduzir imaginários lógicos da mesma forma que introduzimos imaginários algébricos. Com tais funções, imediatamente obtemos uma função saturada se o valor de ϕ é dado; contudo, elas não são funções de primeira ordem (nível) e elas não têm argumentos constantes. A função ϕ(ϕ) leva a uma contradição semelhante àquela gerada por ϕ{ε′ϕ(ε)}.

Eu fui levado à contradição da seguinte forma. Cantor, como o Sr. naturalmente sabe, estabeleceu a prova segundo a qual não existe o maior número [cardinal?](Anzahl). Esta prova é como se segue:

Rε 1→ 1.ϱ⊃ Cls’ϱ.w=ϱ⋂ x∋(x∼ ∈ ιϱ x).
⊃R.w∼ ∈ ϱ:⊃. Nc’ CLs’ϱ≻ Nc’ϱ1

(Isto é apenas a parte mais essencial da prova). Ou, há conceitos cuja extensão abrange tudo. Estes deveriam ter o maior número (cardinal?). Eu tentei estabelecer uma relação um-para-um entre todos os objetos e todas as classes; quando apliquei a prova de Cantor à minha relação particular, restou-me a classe Cls∩ x ∋ (x∼∈ x), embora todas as classes já tivessem sido enumeradas. Durante um ano refleti sobre esta contradição; eu acredito que a única solução seja que função e argumento devam ser capazes de variar independentemente.

A partir do que Sr. disse na pág. 37, a saber, que um nome de função nunca pode ocorrer no lugar de um nome próprio (falo do Grundgesetze), surge a seguinte dificuldade filosófica. Sei que há muito boas razões a favor desta visão, todavia ela é contraditória. Pois “ξ nunca pode tomar o lugar de um nome próprio” será uma proposição falsa se ξ for um nome próprio, mas, caso contrário, ela não será uma proposição em absoluto. Se pode existir algo que não seja um objeto, então este fato não pode ser afirmado sem contradição, pois na afirmação, o algo em questão torna-se um objeto. Portanto, parece-me duvidoso se podemos, de qualquer forma, considerar o ϕ em ϕ x como sendo algo. Mas neste ponto, estamos nos aprofundando em lógica filosófica.

Na pág. 49, o Sr. diz que Γ=Δ terá uma referência (Bedeutung) se Γ e Δ forem nomes para percurso de valores (Werthverlaufsnames) ou nomes para valores de verdade. Não obstante, nas páginas precedentes, não encontro qualquer explicação de Γ=Δ para o caso onde o primeiro é um nome para um percurso de valores e o outro, nome para um valor de verdade, exceto no caso em que o percurso de valores em questão compreende tudo ou compreende nada. Mas acredito que não lhe entendi corretamente neste ponto.

Até agora, eu li seu [livro] Conceitografia e seu [livro] Leis Básicas: os demais trabalhos estudarei imediatamente.

Meus sinceros cumprimentos
De seu devoto
Bertrand Russell

1
Estes símbolos são explicados em Revue de mathématiques VII, 2.

Deixe um comentário